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Partial differential equations (Record no. 2267)

MARC details
000 -LEADER
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020 ## - INTERNATIONAL STANDARD BOOK NUMBER
International Standard Book Number	9781470414979
082 ## - DEWEY DECIMAL CLASSIFICATION NUMBER
Classification number	515.353
Item number	EVA
100 ## - MAIN ENTRY--PERSONAL NAME
Personal name	Evans, L. C
245 ## - TITLE STATEMENT
Title	Partial differential equations
Statement of responsibility, etc.	Lawrence C.Evans
250 ## - EDITION STATEMENT
Edition statement	2
260 ## - PUBLICATION, DISTRIBUTION, ETC.
Place of publication, distribution, etc.	Rhode Island :
Name of publisher, distributor, etc.	American Mathematical Society,
Date of publication, distribution, etc.	2010.
300 ## - PHYSICAL DESCRIPTION
Page number	xxi, 749 p. ;
505 ## - FORMATTED CONTENTS NOTE
Title	1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>1.1. Partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br/>1.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br/>1.2.1. Single partial differential equations . . . . . . . . . . . . 3<br/>1.2.2. Systems of partial differential equations . . . . . . . . 6<br/>1.3. Strategies for studying PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br/>1.3.1. Well-posed problems, classical solutions . . . . . . . . 7<br/>1.3.2. Weak solutions and regularity . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br/>1.3.3. Typical difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br/>1.4. Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br/>1.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br/>1.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br/>PART I: REPRESENTATION FORMULAS FOR SOLUTIONS<br/>2. Four Important Linear PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br/>2.1. Transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br/>2.1.1. Initial-value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br/>2.1.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br/>2.2. Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br/>vii<br/>viii CONTENTS<br/>2.2.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br/>2.2.2. Mean-value formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br/>2.2.3. Properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . 26<br/>2.2.4. Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br/>2.2.5. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br/>2.3. Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br/>2.3.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br/>2.3.2. Mean-value formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br/>2.3.3. Properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br/>2.3.4. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br/>2.4. Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br/>2.4.1. Solution by spherical means . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br/>2.4.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br/>2.4.3. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br/>2.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br/>2.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br/>3. Nonlinear First-Order PDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br/>3.1. Complete integrals, envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br/>3.1.1. Complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br/>3.1.2. New solutions from envelopes . . . . . . . . . . . . . . . 94<br/>3.2. Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br/>3.2.1. Derivation of characteristic ODE . . . . . . . . . . . . . 96<br/>3.2.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br/>3.2.3. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br/>3.2.4. Local solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br/>3.2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br/>3.3. Introduction to Hamilton–Jacobi equations . . . . . . . . 114<br/>3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE . . . . . . 115<br/>3.3.2. Legendre transform, Hopf–Lax formula . . . . . . . 120<br/>3.3.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br/>3.4. Introduction to conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 135<br/>3.4.1. Shocks, entropy condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br/>3.4.2. Lax–Oleinik formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br/>3.4.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br/>CONTENTS ix<br/>3.4.4. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br/>3.4.5. Long time behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156<br/>3.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br/>3.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br/>4. Other Ways to Represent Solutions . . . . . . . . . . . . . . 167<br/>4.1. Separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br/>4.1.1. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br/>4.1.2. Application: Turing instability . . . . . . . . . . . . . 172<br/>4.2. Similarity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br/>4.2.1. Plane and traveling waves, solitons . . . . . . . . . . 176<br/>4.2.2. Similarity under scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br/>4.3. Transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br/>4.3.1. Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br/>4.3.2. Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196<br/>4.3.3. Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br/>4.4. Converting nonlinear into linear PDE . . . . . . . . . . . . 206<br/>4.4.1. Cole–Hopf transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 206<br/>4.4.2. Potential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208<br/>4.4.3. Hodograph and Legendre transforms . . . . . . . . . 209<br/>4.5. Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br/>4.5.1. Singular perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br/>4.5.2. Laplace’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216<br/>4.5.3. Geometric optics, stationary phase . . . . . . . . . . 218<br/>4.5.4. Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br/>4.6. Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br/>4.6.1. Noncharacteristic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br/>4.6.2. Real analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237<br/>4.6.3. Cauchy–Kovalevskaya Theorem . . . . . . . . . . . . . 239<br/>4.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244<br/>4.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249<br/>PART II: THEORY FOR LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS<br/>5. Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253<br/>5.1. H¨older spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254<br/>x CONTENTS<br/>5.2. Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255<br/>5.2.1. Weak derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255<br/>5.2.2. Definition of Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . 258<br/>5.2.3. Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261<br/>5.3. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264<br/>5.3.1. Interior approximation by smooth functions . . . 264<br/>5.3.2. Approximation by smooth functions . . . . . . . . . 265<br/>5.3.3. Global approximation by smooth functions . . . . 266<br/>5.4. Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268<br/>5.5. Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271<br/>5.6. Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275<br/>5.6.1. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality . . . . . . 276<br/>5.6.2. Morrey’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280<br/>5.6.3. General Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . 284<br/>5.7. Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286<br/>5.8. Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289<br/>5.8.1. Poincar´e’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289<br/>5.8.2. Difference quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291<br/>5.8.3. Differentiability a.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295<br/>5.8.4. Hardy’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296<br/>5.8.5. Fourier transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . 297<br/>5.9. Other spaces of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299<br/>5.9.1. The space H-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299<br/>5.9.2. Spaces involving time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301<br/>5.10. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305<br/>5.11. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309<br/>6. Second-Order Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 311<br/>6.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311<br/>6.1.1. Elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311<br/>6.1.2. Weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313<br/>6.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315<br/>6.2.1. Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315<br/>6.2.2. Energy estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317<br/>6.2.3. Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320<br/>CONTENTS xi<br/>6.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326<br/>6.3.1. Interior regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327<br/>6.3.2. Boundary regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334<br/>6.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344<br/>6.4.1. Weak maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 344<br/>6.4.2. Strong maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 347<br/>6.4.3. Harnack’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351<br/>6.5. Eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354<br/>6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators . . . . 354<br/>6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators . 360<br/>6.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365<br/>6.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370<br/>7. Linear Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371<br/>7.1. Second-order parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . 371<br/>7.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372<br/>7.1.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 375<br/>7.1.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380<br/>7.1.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389<br/>7.2. Second-order hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . 398<br/>7.2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398<br/>7.2.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 401<br/>7.2.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408<br/>7.2.4. Propagation of disturbances . . . . . . . . . . . . . . . 414<br/>7.2.5. Equations in two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 418<br/>7.3. Hyperbolic systems of first-order equations . . . . . . . . 421<br/>7.3.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421<br/>7.3.2. Symmetric hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . 423<br/>7.3.3. Systems with constant coefficients . . . . . . . . . . . 429<br/>7.4. Semigroup theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433<br/>7.4.1. Definitions, elementary properties . . . . . . . . . . . 434<br/>7.4.2. Generating contraction semigroups . . . . . . . . . . 439<br/>7.4.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441<br/>7.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446<br/>7.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449<br/>xii CONTENTS<br/>PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS<br/>8. The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453<br/>8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453<br/>8.1.1. Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453<br/>8.1.2. First variation, Euler–Lagrange equation . . . . . 454<br/>8.1.3. Second variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458<br/>8.1.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459<br/>8.2. Existence of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465<br/>8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity . . . . . . . . . . . . 465<br/>8.2.2. Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467<br/>8.2.3. Weak solutions of Euler–Lagrange equation . . . 472<br/>8.2.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475<br/>8.2.5. Local minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480<br/>8.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482<br/>8.3.1. Second derivative estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 483<br/>8.3.2. Remarks on higher regularity . . . . . . . . . . . . . . 486<br/>8.4. Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488<br/>8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . . . . 488<br/>8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities . 492<br/>8.4.3. Harmonic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495<br/>8.4.4. Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497<br/>8.5. Critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501<br/>8.5.1. Mountain Pass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501<br/>8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE . . . . . . . 507<br/>8.6. Invariance, Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511<br/>8.6.1. Invariant variational problems . . . . . . . . . . . . . . 512<br/>8.6.2. Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513<br/>8.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520<br/>8.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525<br/>9. Nonvariational Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527<br/>9.1. Monotonicity methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527<br/>9.2. Fixed point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533<br/>9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . 534<br/>CONTENTS xiii<br/>9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems . . 538<br/>9.3. Method of subsolutions and supersolutions . . . . . . . . 543<br/>9.4. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547<br/>9.4.1. Blow-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547<br/>9.4.2. Derrick–Pohozaev identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 551<br/>9.5. Geometric properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 554<br/>9.5.1. Star-shaped level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554<br/>9.5.2. Radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555<br/>9.6. Gradient flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560<br/>9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces . . . . . . . . . . 560<br/>9.6.2. Subdifferentials and nonlinear semigroups . . . . 565<br/>9.6.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571<br/>9.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573<br/>9.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577<br/>10. Hamilton–Jacobi Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579<br/>10.1. Introduction, viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 579<br/>10.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581<br/>10.1.2. Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583<br/>10.2. Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586<br/>10.3. Control theory, dynamic programming . . . . . . . . . . . 590<br/>10.3.1. Introduction to optimal control theory . . . . . . 591<br/>10.3.2. Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592<br/>10.3.3. Hamilton–Jacobi–Bellman equation . . . . . . . . . 594<br/>10.3.4. Hopf–Lax formula revisited . . . . . . . . . . . . . . . 600<br/>10.4. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603<br/>10.5. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606<br/>11. Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 609<br/>11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609<br/>11.1.1. Integral solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612<br/>11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems . . . . . . . . 615<br/>11.2. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621<br/>11.2.1. Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621<br/>11.2.2. Rarefaction waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624<br/>11.2.3. Shock waves, contact discontinuities . . . . . . . . 625<br/>xiv CONTENTS<br/>11.2.4. Local solution of Riemann’s problem . . . . . . . . 632<br/>11.3. Systems of two conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 635<br/>11.3.1. Riemann invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635<br/>11.3.2. Nonexistence of smooth solutions . . . . . . . . . . 639<br/>11.4. Entropy criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641<br/>11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves . . . . . . . . . 642<br/>11.4.2. Entropy/entropy-flux pairs . . . . . . . . . . . . . . . 646<br/>11.4.3. Uniqueness for scalar conservation laws . . . . . 649<br/>11.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654<br/>11.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657<br/>12. Nonlinear Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659<br/>12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659<br/>12.1.1. Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660<br/>12.1.2. Finite propagation speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 660<br/>12.2. Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663<br/>12.2.1. Lipschitz nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663<br/>12.2.2. Short time existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666<br/>12.3. Semilinear wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670<br/>12.3.1. Sign conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670<br/>12.3.2. Three space dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674<br/>12.3.3. Subcritical power nonlinearities . . . . . . . . . . . . 676<br/>12.4. Critical power nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679<br/>12.5. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686<br/>12.5.1. Nonexistence for negative energy . . . . . . . . . . . 687<br/>12.5.2. Nonexistence for small initial data . . . . . . . . . 689<br/>12.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691<br/>12.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696<br/>APPENDICES<br/>Appendix A: Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697<br/>A.1. Notation for matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697<br/>A.2. Geometric notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698<br/>A.3. Notation for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699<br/>A.4. Vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703<br/>A.5. Notation for estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703<br/>CONTENTS xv<br/>A.6. Some comments about notation . . . . . . . . . . . . . . . . 704<br/>Appendix B: Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705<br/>B.1. Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705<br/>B.2. Useful inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706<br/>Appendix C: Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710<br/>C.1. Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710<br/>C.2. Gauss–Green Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711<br/>C.3. Polar coordinates, coarea formula . . . . . . . . . . . . . . . 712<br/>C.4. Moving regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713<br/>C.5. Convolution and smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713<br/>C.6. Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716<br/>C.7. Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717<br/>C.8. Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718<br/>Appendix D: Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719<br/>D.1. Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719<br/>D.2. Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720<br/>D.3. Bounded linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721<br/>D.4. Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723<br/>D.5. Compact operators, Fredholm theory . . . . . . . . . . . . 724<br/>D.6. Symmetric operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728<br/>Appendix E: Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729<br/>E.1. Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729<br/>E.2. Measurable functions and integration . . . . . . . . . . . . 730<br/>E.3. Convergence theorems for integrals . . . . . . . . . . . . . . 731<br/>E.4. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732<br/>E.5. Banach space-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
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